Home » Barisan dan Deret » Pembahasan Penting Dalam Barisan dan Deret Geometri

Pembahasan Penting Dalam Barisan dan Deret Geometri

Tuesday, August 20th 2013. | Barisan dan Deret
advertisements

Barisan dan deret aritmatika telah kita ketahui bersama, baik definisi maupun rumusnya karena telah kita bahas pada artikel sebelumnya di rumus matematika ini. Dan sekarang yang akan kita bicarakan mengenai barisan dan deret geometri. Apa yang menjadi perbedaan diantara keduanya?

images (1)

BARISAN GEOMETRI

Yang dimaksud dengan barisan geometri yaitu sederetan bilangan yang berupa suku / unit yang ditulis secara berurutan dengan perbandingan dua buah suku yang berurutan mempunyai harga yang konstan (tetap). Perbandingan dua buah suku yang berurutan ini biasanya dinamakan dengan rasio dan dilambangkan dengan huruf r. Sehingga bentuk umum untuk barisan geometri yaitu

U1, U2, U3, ……., Un-1, Un

U1/U2 = U3/U2 = …. = Un / Un-1

r=Un / Un-1

Jika untuk suku pertama disebut dengan a maka bentuk umum untuk barisan geometrinya sebagai berikut

Screenshot_7

Jadi berdasarkan deret diatas Un=arn-1

Berdasarkan rasionya kita dapat memperoleh tiga jenis pernyataan, yaitu :

  1. Jika r>1 maka suku-suku barisan tersebut semakin besar nilainya / naik sehingga disebut barisan geometri naik.
  2. Jika r<1 yang artinya -1<r<1 maka suku-suku barisan tersebut semakin kecil nilainya / turun sehingga disebut barisan geometri turun.
  3. Jika r<0 maka suku barisan berganti tanda sehingga disebut barisan naik turun.

 

DERET GEOMETRI

Jika a, ar, ar2, ar3, … arn-1 merupakan suatu barisan geometri, maka
a + ar + ar2 + ar3 +  … arn-1 merupakan deret geometri.

Jadi Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Apabila jumlah n suku pertama dari deret geometri  kita lambangkan dengan Sn, maka Sn dapat ditulis sebagai berikut

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +  … arn-1

Jika kita kalikan persamaan diatas dengan r  akan diperoleh

r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn

selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan tersebut

Sn = a + ar + ar2 + ar3 +  … arn-1

r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn

__________________________________-

Sn – r Sn = a – arn

(1 – r)Sn = a(1 – rn)

Sn=a(1 – rn)/(1 – r)  jika r<1

untuk r>1 dengan cara yang sama rumus Sn dapat diperoleh, yaitu

Screenshot_8

Keterangan :

  1. Rasio dari dua buah suku yang berurutan tetap
  2. Barisan geometri akan naik jika Un > Un-1
  3. Barisan geometri akan turun jika Un < Un-1
  4. Barisan geometri akan bergantian naik turun jika r < 0
  5. Terdapat hubungan Un = Sn – Sn-1
  6. Jika banyaknya suku ganjil maka suku tengahnya Ut=√U1.Un
  7. Apabila terdapat 3 bilangan membentuk deret geometri, maka untuk memudahkan perhitungan kita misalkan saja bilangan tersebut dengan a/r,a,ar.

contoh soal :

tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374 ?

Penyelesaian :

Diketahui Barisan geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374
Sehingga a = 2 dan r = 3
Un = arn-1
4374=2 . 3n-1
4374/2=3n-1
2187=3n-1
37=3n-1
n – 1 = 7
n = 8
Sn=a(1 – rn)/(1 – r)
S8= 2(1 – 32)/(1 – 3)
     = 6560
Jadi, jumlah 8 suku pertama deret geometri tersebut adalah  6560.
DERET GEOMETRI TAK HINGGA
 Suatu deret geometri jika n menuju tak hingga maka deret tersebut disebut deret geometri tak berhingga. Sehingga deret geometri tak berhingga merupakan penjumlahan dari
Screenshot_9
Jenis deret geometri tak hingga :
1. Deret Geometri Tak Hingga Konvergen
Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga konvergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| <1 atau -1< r <1. Dan jumlah deret geometri yang konvergen dirumuskan dengan pendekatan
Sn=a/(1 – r)
2. Deret Geometri Tak Hingga Divergen (menyebar)
Deret dikatakan termasuk dalam deret  geometri tak hingga divergen jika deret tersebut memiliki rasio |r| >1 atau r >1 atau r < -1. Dan jumlah deret geometri divergen tidak didefinisikan. contoh : 1+3+9+27+…
Catatan:a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + …….……….
 Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ …….                     Sganjil = a / (1-r²)

 Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

a + ar3 + ar5 + ……                  Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

 

PENGGUNAAN DALAM PERBANKAN

1. Untuk Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)

M0, M1, M2, …………., Mn

M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0

M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0

.
.
.
.

Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0
2. Untuk Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)

M0, M1, M2, ………., Mn

M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0

M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
      = (1 + P/100)² M0
.
.
.

Mn = {1 + P/100}n M0

Keterangan :

M0 = Modal awal
 Mn = Modal setelah n periode
 p   = Persen per periode atau suku bunga
 n   = Banyaknya periode

Catatan:

Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).

Itulah pembahasan mengenai Barisan dan Deret Geometri, semoga dapat bermanfaat. Sebelumnya telah diberikan materi mengenai turunan, semoga dapat menjadi referensi yang bermanfaat juga.
advertisements
tags: , , , , , ,

Related For Pembahasan Penting Dalam Barisan dan Deret Geometri