Pembahasan Penting Dalam Barisan dan Deret Geometri
advertisementsBarisan dan deret aritmatika telah kita ketahui bersama, baik definisi maupun rumusnya karena telah kita bahas pada artikel sebelumnya di rumus matematika ini. Dan sekarang yang akan kita bicarakan mengenai barisan dan deret geometri. Apa yang menjadi perbedaan diantara keduanya?
BARISAN GEOMETRI
Yang dimaksud dengan barisan geometri yaitu sederetan bilangan yang berupa suku / unit yang ditulis secara berurutan dengan perbandingan dua buah suku yang berurutan mempunyai harga yang konstan (tetap). Perbandingan dua buah suku yang berurutan ini biasanya dinamakan dengan rasio dan dilambangkan dengan huruf r. Sehingga bentuk umum untuk barisan geometri yaitu
U1, U2, U3, ……., Un-1, Un
adversitemensU1/U2 = U3/U2 = …. = Un / Un-1
r=Un / Un-1
Jika untuk suku pertama disebut dengan a maka bentuk umum untuk barisan geometrinya sebagai berikut
Jadi berdasarkan deret diatas Un=arn-1
Berdasarkan rasionya kita dapat memperoleh tiga jenis pernyataan, yaitu :
- Jika r>1 maka suku-suku barisan tersebut semakin besar nilainya / naik sehingga disebut barisan geometri naik.
- Jika r<1 yang artinya -1<r<1 maka suku-suku barisan tersebut semakin kecil nilainya / turun sehingga disebut barisan geometri turun.
- Jika r<0 maka suku barisan berganti tanda sehingga disebut barisan naik turun.
DERET GEOMETRI
Jadi Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari barisan geometri. Apabila jumlah n suku pertama dari deret geometri kita lambangkan dengan Sn, maka Sn dapat ditulis sebagai berikut
Sn = a + ar + ar2 + ar3 + … arn-1
Jika kita kalikan persamaan diatas dengan r akan diperoleh
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
selanjutnya kita kurangkan kedua persamaan tersebut
r Sn = ar + ar2 + ar3 + ar4 + … arn-1 + arn
__________________________________-
Sn – r Sn = a – arn
(1 – r)Sn = a(1 – rn)
Sn=a(1 – rn)/(1 – r) jika r<1
untuk r>1 dengan cara yang sama rumus Sn dapat diperoleh, yaitu
Keterangan :
- Rasio dari dua buah suku yang berurutan tetap
- Barisan geometri akan naik jika Un > Un-1
- Barisan geometri akan turun jika Un < Un-1
- Barisan geometri akan bergantian naik turun jika r < 0
- Terdapat hubungan Un = Sn – Sn-1
- Jika banyaknya suku ganjil maka suku tengahnya Ut=√U1.Un
- Apabila terdapat 3 bilangan membentuk deret geometri, maka untuk memudahkan perhitungan kita misalkan saja bilangan tersebut dengan a/r,a,ar.
contoh soal :
tentukanlah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374 ?
Penyelesaian :
Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
a+ar2 +ar4+ ……. Sganjil = a / (1-r²)
Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
a + ar3 + ar5 + …… Sgenap = ar / 1 -r²
Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r
PENGGUNAAN DALAM PERBANKAN
1. Untuk Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, …………., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
.
.
.
.
Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0
2. Untuk Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, ………., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
= (1 + P/100)² M0
.
.
.
Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0 = Modal awal
Mn = Modal setelah n periode
p = Persen per periode atau suku bunga
n = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).