Lebih Mengenal Transformasi Geometri

Monday, September 23rd 2013. | Transformasi Geometri
advertisements

Kali ini rumus matematika akan membahas materi mengenai transformasi geometri. Mungkin teman-teman telah tahu tentang transformasi geometri, untuk lebih memahami mengenai materi ini berikut ini akan dijelaskan secara terperinci hal-hal mengenai transformasi geometri.

transformasi geometri

TRANSFORMASI GEOMETRI

Transformasi merupakan suatu pemetaan titik pada suatu bidang ke himpunan titik pada bidang yang sama. Jenis-jenis dari transformasi yang dapat dilakukan antara lain :

  1. Translasi (Pergeseran)
  2. Refleksi(Pencerminan)
  3. Rotasi(Perputaran)
  4. Dilatasi(Penskalaan)

Berikut ini ilustrasinya :

adversitemens

transformasi geometri1

TRANSLASI / PERGESERAN

transformasi geometri2

Berdasarkan gambar di atas, segitiga ABC yang mempunyai koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) ditranslasikan:

Screenshot_1

Berdasarkan penjelasan diatas, maka untuk mencari nilai translasi dapat digunakan rumus sebagai berikut :

Screenshot_10

dimana :

  • a menyatakan pergeseran horizontal (kekanan+, kekiri-)
  • b menyatakan pergeseran vertikal (keatas+,kebawah-)

 

REFLEKSI / PENCERMINAN

TG5

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

  • terhadap sumbu Y menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-3, 9), B2(-3, 3), C2(-6, 3)
  • terhadap sumbu X menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(3, -9), B3(3, -3), C3(6, -3)
  • terhadap titik (0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

TG6

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dicerminkan:

  • terhadap garis x = -2 menjadi segitiga A5B5C5 dengan koordinat A5(-7, 9), B5(-7, 3), C5(-10, 3)
  • terhadap sumbu y = 1 menjadi segitiga A6B6C6 dengan koordinat A6(3, -7), B6(3, -1), C6(6, -1)

TG7

Segitiga PQR dengan koordinat P(6, 4), Q(6, 1), R(10, 1) dicerminkan:

  • terhadap garis y = x menjadi segitiga P2Q2R2 dengan koordinat P2(4, 6), Q2(1, 6), R2(1, 10)
  • terhadap garis y = -x menjadi segitiga P3Q3R3 dengan koordinat P3(-4, -6), Q3(-1, -6), R3(-1, -10)

Berdasarkan penjelasan diatas dapat dirumuskan :

Pencerminan terhadap garis x = a atau y = b

TG8

Pencerminan terhadap sumbu x atau sumbu y

Screenshot_2

Pencerminan terhadap titik (0, 0)

Screenshot_3

Pencerminan terhadap garis y = x atau y = –x

Screenshot_4

Pencerminan terhadap garis y = mx + c

Jika m = tan θ maka:

Screenshot_5

Screenshot_11

 

ROTASI / PERPUTARAN

trans_rotasi

Untuk rotasi searah jarum jam, sudut diberi tanda negatif (–)

Untuk rotasi berlawanan arah jarum jam, sudut diberi tanda positif (+)

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) dirotasi:

  • +90° atau –270°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(-9, 3), B2(-3, 3), C2(-3, 6)
  • +270° atau –90°  dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A2(9, -3), B2(3, -3), C2(3, -6)
  • +180° atau –180° dengan pusat rotasi O(0, 0) menjadi segitiga A4B4C4 dengan koordinat A4(-3, -9), B4(-3, -3), C4(-6, -3)

Berdasarkan penjelasan diatas, maka rotasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

Rotasi sejauh θ dengan pusat (a, b)

Screenshot_12

Rumus praktis untuk rotasi dengan pusat rotasi O(0, 0):

Screenshot_13

DILATASI / PENSKALAAN

trans_dilatasi

Segitiga ABC dengan koordinat A(3, 9), B(3, 3), C(6, 3) didilatasi:

  • dengan faktor skala k = 1/3 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A2B2C2 dengan koordinat A2(1, 3), B2(1, 1), C2(2, 1)
  • dengan faktor skala k = 2 dan pusat dilatasi O(0, 0) menjadi segitiga A3B3C3 dengan koordinat A3(6, 18), B3(6, 6), C3(12, 6)

Untuk nilai k negatif, arah bayangan berlawanan dengan arah aslinya.

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :

Dilatasi dengan pusat (a, b) dan faktor skala k

Screenshot_1

Rumus praktis dilatasi dengan faktor skala k dan pusat dilatasi O(0, 0):

Screenshot_2

Selain 4 transformasi yang telah dijelaskan diatas, juga terdapat 2 transformasi lagi yaitu shearing / gusuran dan stretching / regangan. Perhatikan penjelasan dibawah ini :

GUSURAN/SHEARING

trans_shearing

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) akan digusur:

  • menurut arah sumbu X (invariant sumbu X) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(6, 1), C2(16, 6), D2(13, 6)
  • menurut arah sumbu Y (invariant sumbu Y) dengan faktor skala k = 2 menjadi persegi panjang A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 3), B3(4, 9), C3(4, 14), D3(1, 8)

Pengaruh nilai k:

  • untuk gusuran menurut arah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
  • untuk gusuran menurut arah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan sebagai berikut :

Gusuran menurut arah sumbu X (Gx) dengan faktor skala k maka :

Screenshot_3

Gusuran menurut arah sumbu Y (Gy) dengan faktor skala k maka :

Screenshot_4

STRETCHING / REGANGAN

trans_stretching

Persegi panjang ABCD dengan koordinat A(1, 1), B(4, 1), C(4, 6), D(1, 6) diregangkan:

  • searah sumbu X dengan faktor skala k = 3 menjadi A2B2C2D2 dengan koordinat A2(3, 1), B2(12, 1), C2(12, 6), D2(3, 6)
  • searah sumbu Y dengan faktor skala k = 2 menjadi A3B3C3D3 dengan koordinat A3(1, 2), B3(4, 2), C3(4, 12), D3(1, 12)

Pengaruh nilai k:

  • untuk regangan searah sumbu X → k positif arahnya ke kanan, k negatif arahnya ke kiri
  • untuk regangan searah sumbu Y → k positif arahnya ke atas, k negatif arahnya ke bawah

Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dirumuskan :

Regangan searah sumbu X (Sx) dengan faktor skala k

Screenshot_5

Regangan searah sumbu Y (Sy) dengan faktor skala k

Screenshot_6

Transformasi dengan Matriks Transformasi Tertentu

Screenshot_7

KOMPOSISI TRANSFORMASI

merupakan gabungan dari beberapa transformasi. Misalnya kita mempunyai transformasi T1 akan dilanjutkan ke T2 maka ditulis T2oT1.

Screenshot_8

Komposisi Khusus :

1. Dua pencerminan yang berurutan terhadap sumbu-sumbu yang sejajar

Screenshot_9

2. Dua pencerminan yang berurutan terhadap dua sumbu yang tegak lurus ekuivalen dengan rotasi 180º yang pusatnya adalah titik potong kedua sumbu tersebut.

3. Dua pencerminan terhadap dua sumbu yang berpotongan ekuivalen dengan rotasi dimana titik pusat adalah titik potong kedua sumbu dan sudutnya adalah sudut antara kedua sumbu.

4. Dua rotasi berurutan terhadap pusat yang sama ekuivalen dengan rotasi dimana pusatnya sejauh jumlah sudut keduanya.

 

LUAS HASIL TRANSFORMASI

Transformasi yang berupa translasirefleksi, dan rotasi tidak mengubah luas suatu benda

Screenshot_10

Mencari luas segitiga ABC jika diketahui koordinat titik A, B, dan C nya, maka kita dapat gunakan rumus :

Screenshot_11

Perhatikan contoh soal transformasi berikut ini.

Tentukanlah persamaan bayangan kurva y = x2 + 3x -4 jika dicerminkan terhadap sumbu X, kemudian didilatasikan dengan faktor skala 2 dengan pusat dilatasi O(0, 0)

Penyelesaian :

cara 1 : cara langsung

Screenshot_12

cara 2 : menggunakan matriks

Screenshot_13

Demikian informasi mengenai Transformasi Geometri, semoga dapat bermanfaat dan dapat membantu lebih memahami materi tersebut dan materi matematika pada umumnya. Jangan lupa baca artikel yang lainnya juga, seperti Cara Menghitung Luas Selimut Benda Putar.

advertisements
tags: , , , , , , ,

Related For Lebih Mengenal Transformasi Geometri