Belajar Operasi Himpunan

Saturday, September 30th 2017. | Himpunan
advertisements

Dalam materi himpunan salah satu yang harus kita pelajari adalah mengenai operasi himpunan. Apa saja operasi-operasi dalam himpunan akan kita bahas bersama dalam Rumus Matematika kali ini. Dimana dalam artikel sebelumnya kita telah membahas mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Logika Matematika. Mari langsung saja kita belajar bersama mengenai operasi himpunan.

Belajar Operasi Himpunan

Terdapat beberapa operasi himpunan yang harus kita ketahui, yaitu irisan, gabungan, komplemen, selisih serta beda setangkup. Untuk lebih jelasnya, mari kita simak bersama penjelasan dari setiap operasi himpunan berikut ini.

IRISAN (INTERSECTION)

Notasi dari irisan dua buah himpunan adalah tanda “∩”. Kita ambil contoh, misalnya A dan B merupakan himpunan yang tidak saling lepas, sehingga A∩B = {x|x∈A dan x∈B}. Pernyataan irisan tersebut jika kita nyatakan dalam diagram Venn yaitu sebagai berikut.

adversitemens

4.9

Perhatikan contoh berikut.

  1. Misalkan A={1,4,6,8,9} dan B={2,4,6,7} maka A∩B={4,6}.
  2. Misalkan A merupakan himpunan mahasiswi Matematika UI dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (60 tahun keatas), maka A∩B=Ø. Hal ini menunjukan bahwa A dan B saling lepas atau A ⁄ ⁄B.

 

GABUNGAN (UNION)

Notasi untuk gabungan dua buah himpunan yaitu “∪”. Misalnya A dan B merupakan sebuah himpunan, maka A∪B={x|x∈A atau x∈B}. Yang jika dinyatakan dalam diagram venn sebagai berikut.

4.9

Perhatikan contoh berikut.

  1. Jika A={1,2,5,8,9} dan B={2,3,4,5} maka A∪B={1,2,3,4,5,8,9}
  2. A∪Ø=A

KOMPLEMEN (COMPLEMENT)

Komplemen dari suatu himpunan adalah unsur-unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalnya A adalah himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan sebagai berikut.

Ac = {x|x∈U dan x∉A}

atau

4.9

Jika kita nyatakan dalam diagram venn yaitu sebagai berikut.

4.9

Perhatikan contoh berikut.

  • Misalkan U={1,2,3,4,…,9}
  • Jika A={1,2,4}, maka Ac ={3,5,6,7,8,9}
  • Jika A={x∈U|x habis dibagi dua}, maka Ac ={1,3,5,7,9}

Contoh komplemen yang lain:

A = Himpunan mahasiswa Matematika UI

B = Himpunan mahasiswa yang tinggal diasrama

C = Himpunan mahasiswa angkatan 2005

D = Himpunan mahasiwa yang mengambil statistik

E = Himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi kekampus

a. Pernyataan

“Semua mahasiswa Matematika UI angkatan 2005 yang membawa motor untuk pergi kekampus” dapat dinyatakan dalam operasi himpunan sebagai berikut :

(A∩C)∩E

b. Pernyataan

“Semua mahasiswa Matematika UI yang tinggal diasrama dan tidak mengambil statistik” dapat dinyatakan dalam operasi himpunan sebagai berikut :

A∩B∩D

c. Pernyataan

“Semua mahasiswa angkatan 2005 yang tidak tinggal diasrama atau tidak membawa motor untuk pergi kekampus” dapat dinyatakan dalam operasi himpunan sebagai berikut:

C∩(B∪E)

SELISIH (DIFFERENCE)

Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan dengan tanda “-“. Misalnya A dan B merupakan himpunan maka A-B={x|x∈A dan x∉B} = A∩B. Jika dinyatakan dalam diagram venn yaitu sebagai berikut.

4.9

Perhatikan contoh berikut ini.

Jika A={1,2,3,4,…10} dan B={3,5,7} maka A-B={1,2,4,6,8,9,10} dan B-A=Ø

BEDA SETANGKUP (SYMMETRIC DIFFERENT)

Notasi beda setangkup antara dua buah himpunan yaitu “⊕”. Misalkan A dan B merupakan himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan sebagai berikut.

A⊕B = (A∪B)-(A∩B)

A⊕B = (A-B)∪(B-A)

Yang jika kita nyatakan dalam diagram venn yaitu sebagai berikut.

4.9

Perhatikan contoh berikut.

Jika A={2,3,5,7} dan B={1,2,3,4,5} maka A⊕B={1,4,7}

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut ini:

  • Hukum komutatif yaitu A⊕B=B⊕A
  • Hukum asosiatif yaitu (A⊕B)⊕C=A⊕(B⊕C)

 

PERKALIAN KARTESIAN (CARTESIAN PRODUCT)

Notasi untuk perkalian kartesian dua buah himpunan yaitu “×”. Misalnya A dan B merupakan himpunan maka perkalian antara A dan B dinotasikan sebagai berikut.

A×B={(a,b)|a∈A dan b∈B}

Perhatikan contoh berikut ini.

Misalnya C={1,2,3} serta D={a,b} maka C×D={(1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}.

Misalnya A = B = himpunan bilangan riil, maka A×B = himpunan semua titik dibidang datar.

Misalnya terdapat dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut yaitu perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B adalah himpunan berhingga, maka :

|A×B|=|A|.|B|

Pasangan terurut (a,b) berbeda dengan (b,a) dengan perkataan lain (a,b) ≠ (b,a). Berdasarkan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif yaitu

A×B ≠ B×A

dimana A atau B bukan himpunan kosong, Jika A=∅ atau B=∅ maka

A×B = B×A = ∅

Adapun hukum – hukum yang berlaku  untuk operasi himpunan yaitu sebagai berikut :

a. Hukum Identitas

  • A∪∅=A
  • A∩U=A

b. Hukum null/dominasi

  • A∩∅=A
  • A∪U=U

c. Hukum komplemen

  • A∪A=U
  • A∩A=∅

d. Hukum idempoten

  • A∪A=A
  • A∩A=A

e. Hukum involusi

(Ac)c = A

f. Hukum penyerapan (absorpsi)

  • A∪(A∩B)=A
  • A∩(A∪B)=A

g. Hukum komutatif

  • A∪B=B∪A
  • A∩B=B∩A

h. Hukum asosiatif

  • A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
  • A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

i. Hukum distributif

  • A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
  • A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

j. Hukum de morgan
4.8

k. Hukum komplemen

4.8

 

 

Itulah materi untuk belajar operasi himpunan, semoga dapat melengkapi materi yang temen-temen punya dirumah. Dan kami harap artikel ini dapat bermanfaat dalam membantu belajar temen-temen.

Selamat belajar

advertisements
tags: , , , , ,

Related For Belajar Operasi Himpunan