Bagaimana Menghitung Determinan Matriks ?

Sunday, October 1st 2017. | Matriks
advertisements

Dalam belajar materi matriks membutuhkan ketelitian, agar tidak terjadi kekeliruan saat menghitung. Apalagi jika kita menghitung matriks dengan ordo tinggi, misalnya orde 4×4. Nah Rumus Matematika kali ini akan memberikan materi matriks mengenai determinan. Karena bagi sebagian siswa materi determinan matriks dengan ordo tinggi memerlukan tenaga ektra untuk mengerjakannya. Jadi marilah kita belajar bersama, bagaimana menghitung determinan matriks.

4.8

Bagaimana Menghitung Determinan Matriks ?

Sebuah matriks agar dapat dihitung determinannya memiliki syarat yaitu harus merupakan matriks persegi.

a. Determinan Matriks Ordo 2×2

adversitemens

4.8

Perhatikan matriks A diatas, matriks A merupakan matriks yang berordo 2×2 dengan elemen a dan d terletak pada diagonal utama pertama, sedangkan b dan c terletak pada diagonal kedua. Determinan dari matriks A dinotasikan “det A” atau |A| merupakan suatu bilangan yang diperoleh dengan mengurangi hasil kali elemen-elemen pada diagonal utama dengan hasil kali elemen-elemen diagonal kedua.

Sehingga dapat diperoleh rumus det A sebagai berikut.

4.8

Perhatikan  contoh soal berikut.

Tentukanlah determinan dari matriks-matriks berikut.

4.8

Penyelesaian :

det A = (8×3)-(2×4) = 24 – 8 = 16

det B = (-3×7)-(-1×6) = -21 – (-6) = -21 + 6 =15

b. Determinan Matriks ordo 3×3

4.8

Matriks A diatas merupakan matriks berordo 3×3, determinan A dinyatakan sebagai berikut.

4.8

Terdapat dua cara untuk menentukan determinan matriks berordo 3×3, yaitu metode sarrus dan metode minor-kofaktor.

Aturan Sarrus

Perhatikanlah alur berikut untuk menentukan determinan dari matriks berordo 3×3 dengan aturan sarrus.

4.8

Metode Minor-Kofaktor

Misalkan matriks A dituliskan dengan [aij] . Minor elemen aij yang dinotasikan dengan Mij merupakan determinan setelah elemen-elemen baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan. Misalnya dari matriks ber ordo 3×3 kita hilangkan baris ke-2 kolom ke-1 maka :

4.8

Maka diperoleh

4.8

M21 merupakan minor dari elemen matriks A baris ke-2 kolom ke-1. Sejalan dengan hal tersebut maka kita dapat memperoleh minor yang lain, misalnya

4.8

Kofaktor elemen aij dinotasikan Kij yang merupakan hasil kali (-1)i+j dengan minor elemen tersebut. Sehingga kofaktor suatu matriks dirumuskan dengan

4.8Berdasarkan matriks A diatas, kita peroleh misalnya kofaktor a21 dan a13 berturut-turut adalah

4.8

Kofaktor dari matriks A adalah

4.8

Nilai dari suatu determinan merupakan hasil penjumlahan dari perkalian elemen-elemen suatu baris (kolom) dengan kofaktornya. Untuk menghitung determinan, kita dapat memilih terlebih dahulu sebuah baris (atau kolom) kemudian kita gunakan aturan diatas.

Perhatikan cara menentukan determinan berikut ini.

Misalnya terdapat matriks A seperti berikut.

4.8

Determinan matriks A dapat kita hitung menggunakan cara berikut.

Kita pilih baris pertama sehingga

4.8

Tampak bahwa det A matriks ordo 3×3 yang dikerjakan dengan minor kofaktor hasilnya sama dengan det A yang dikerjakan dengan metode sarrus.

Perhatikan contoh soal berikut ini.

4.8

Tentukanlah determinan matriks A diatas dengan menggunakan minor kofaktor dan juga sarrus !

Penyelesaian.

Aturan Sarrus

4.8

=(1×1×2)+(2×4×3)+(3×2×1)-(3×1×3)-(1×4×1)-(2×2×2)

=2+24+6-9-4-8

= 11

Metode Minor Kofaktor

Misalnya kita pilih perhitungan menurut baris pertama sehingga diperoleh :

4.8

=-2 – 2(-8) + 3(-1)

=-2 + 16 – 3

= 11

c. Sifat-Sifat Determinan Matriks

Adapun sifat-sifat determinan matriks yaitu sebagai berikut.

1. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan nol maka determinan matriks itu adalah nol.

4.8

2. Jika semua elemen dari salah satu baris/kolom sama dengan elemen baris/kolom lainnya maka determinan matriks itu nol,

3. Jika elemen-elemen salah satu baris/kolom adalah kelipatan dari elemen-elemen baris atau kolom lain maka determinan matriks itu nol.

4.8

(karena eleme-elemen baris ke-3 kelipatan dari elemen-elemen baris ke-1)

4. |AB|=|A|×|B|

5. | AT| = |A|, dengan A merupakan transpose dari matriks A

6. 4.8

7. |kA|=kn|A| untuk A ordo nxn serta k suatu konstanta

Demikianlah materi bagaimana menghitung determinan matriks, semoga dapat bermanfaat dan jangan lupa baca artikel sebelumnya mengenai Belajar Operasi Himpunan.

Selamat Belajar

advertisements
tags: , , , , , ,

Related For Bagaimana Menghitung Determinan Matriks ?